Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1
CM: \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 12 2017
Đặt:
\(A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)=21\)
Hay \(A\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)
29 tháng 12 2017
Rảnh quá ủng hộ cách khác nè =))
Áp dụng Cô-si có:
\(\sqrt{4a+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le\dfrac{4a+1+\dfrac{7}{3}}{2}=2a+\dfrac{5}{3}\)
Tương tự vs 2 bđt còn lại: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4b+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2b+\dfrac{5}{3}\\\sqrt{4c+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2c+\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
Cộng 2 vế của 3 bđt trên có:
\(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)\le2\left(a+b+c\right)+5=7\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}\)
Hoàn tất chứng minh
22 tháng 9 2016
Ta có
\(\sqrt{2}\sqrt{4a+1}\le\frac{4a+3}{2}\)
\(\sqrt{2}\sqrt{4b+1}\le\frac{4b+3}{2}\)
\(\sqrt{2}\sqrt{4c+1}\le\frac{4c+3}{2}\)
\(\sqrt{2}\sqrt{4d+1}\le\frac{4d+3}{2}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\right)\)
\(\le8\)
<=> \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\sqrt{4d+1}\le4\sqrt{2}\)
DN
2
29 tháng 11 2019
\(A\le\frac{1}{27}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^3\)
Mặt khác :
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}\)
\(=3\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{27}\left(3\sqrt{5}\right)^3=5\sqrt{5}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TZ
1
VH
26 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\) \(=\sqrt{3.\left(4.3+3\right)}=\sqrt{3.15}=3\sqrt{5}\)
\(\text{Dấu ''='' xảy ra }\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Đề bài thiếu, chắc chắn phải có thêm 1 dữ kiện khác
Ví dụ, bạn cho \(a=b=c=1000\) sẽ thấy BĐT sai
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2018
Áp dụng BĐT Bunhia:
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3.\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)}=\sqrt{21}< \sqrt{25}=5\)
Vậy \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\)
TD
1
19 tháng 7 2017
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\(VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)\)
\(=3\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)\)
\(=3\left(4+3\right)=21< 25=VP^2\)
Suy ra VT<VP---> đúng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 11 2019
\(A\le\frac{1}{27}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^3\)
Mặt khác:
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}=3\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{27}\left(3\sqrt{5}\right)^3=5\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2):
[√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)]^2
<= 3[4(a+b+c)+3]=21<25
=>√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)<5
cosi : \(\sqrt{4a+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4a+1+1}{2}\)= 2a + 1. tương tự \(\sqrt{4b+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4b+1+1}{2}\)= 2b + 1; \(\sqrt{4c+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4c+1+1}{2}\)= 2c + 1. Nên VT < 2(a+b+c) +3 = 5. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = 1/3